\begin{array}{l} \(\small{ \ a+\displaystyle\frac{1}{a}=2 \ }\) 数学Ⅱ 指数関数 指数の計算特訓② （文字ver） 解答編 . 高校講座home >> 数学Ⅱ; 数学Ⅱ. 今回は指数関数を含む方程式の解き方について学習していこう。, 指数関数を含む方程式を解く場合、いきなり\(\small{ \ x=3 \ }\)みたいに答えが出るわけじゃない。, まずは\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)っていうのが求まってから\(\small{ \ x=3 \ }\)って答えが求まるんだ。まずはこのことを頭に入れておこう。, ①\(\small{ \ a^x=a^p \ }\)から\(\small{ \ x=p \ }\), ②\(\small{ \ 2^{2x}+2^{x+1}-3=0 \ }\) 指数関数1（教科書p101 - p110） 累乗根と指数の法則を理解し、これらに関する問題を解くことができる。 2週: 指数関数2: 指数関数を理解し、指数関数を用いた方程式・不等式を解くことができる。 3週: 対数関数1（教科書p111 - p122） \begin{array}{l} \left\{ \(\small{ \ (a-1)^2=0 \ }\)より\(\small{ \ a=1 \ }\) 指数関数. \(\small{ \ 3^x=1 \ }\)より\(\small{ \ x=0 \ }\), (3)\(\small{ \begin{eqnarray} \left\{ \left\{ 数学Ⅱ 指数関数 指数方程式特訓① 問題編. 指数関数だけ教わって、まだ対数関数を教わってない人は(2)は解けないけど、どうせ指数関数の次に対数関数を教わるからここまできちんと理解しておこう。, \(\small{ \ t=3^x+3^{-x} \ }\)とおいて\(\small{ \ t \ }\)を求めたら、\(\small{ \ x \ }\)を求めるためにもう一度\(\small{ \ 3^x \ }\)をおいて\(\small{ \ x \ }\)を求めよう。, \(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)のグラフを想像したら\(\small{ \ t=2 \ }\)のとき\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ x=0 \ }\)の\(\small{ \ 1 \ }\)個だけ、\(\small{ \ t\gt2 \ }\)のとき\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)個あるよね。. (3)\(\small{ \begin{eqnarray} 指数関数的減衰（しすうかんすうてきげんすい、exponential decay）、または指数的減衰 とは、ある量が減少する速さが減少する量に比例することである。 数学的にいえば、この過程は微分方程式 \end{array} \(\small{ \begin{eqnarray} ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。. a\gt-8 \end{array} \(\small{ \ t\geqq2 \ }\)より\(\small{ \ t=2 \ }\) ・指数方程式・指数不等式は計算だけで解くのではなく、グラフを描いて答えを確認する習慣をつけさせる。 ・指数関数が単調増加（減少）であることから、指数方程式の一意性が出てくることを指摘する。 ・説明を熱心に聞いているか． 正直三角関数、指数関数、対数関数などとそれぞれの方程式は文字を置いて二次関数として考えれば大体の問題は解けると思いますか？ この考え方だけでは解けない問題はどんなのがありますか？ \(\small{ \ t^2+2t-3=0 \ }\) }+\cdots\], \[\log _e (1+x) =x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\], \[ 2^{x}= 1+(\log_e 2)x+(\log_e 2)^2{x^2\over 2! \(\small{ \ Y=6-X \ }\)より\(\small{ \ X(6-x)=8 \ }\) \(\small{ \ X=2, \ 4 \ }\) 性別：男 \(\small{ \ t\gt2 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)個存在する 趣味：料理・問題研究 \(\small{ \ t=2^x \ }\)とおく（\(\small{ \ t\gt0 \ }\)） 指数関数は自然対数の底（Napir数：ネイピア数） の冪乗のベキを変数とする関数です：. \end{eqnarray} \ }\)を満たせばよい \right. \right. 2^{x+y} =8 ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。, 趣味で数学をしています。修士（理学）。 1992年・群馬生まれ、茨城在住。 この方程式が解を\(\small{ \ 4 \ }\)つもつための\(\small{ \ a \ }\)の値の範囲を求めよ。, \(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)とおくと（\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)） こういうルールを設定すると、例えば上の式で右辺を逆に書いて\(b_0a_1\)としたとしても、これは計算ルールから\(a_1b_0\)と等しくなる。つまり計算が形式上可換になるのだ。 これを指数関数の計算に応用しよう。 まず、指数関数を積の形で書き表す。 数学Ⅱ 指数関数 指数方程式特訓① 解答編 . 職業：塾講師/家庭教師 \begin{array}{l} 2^x+2^y=6 \\ \(\small{ \ 2^x=1 \ }\)より\(\small{ \ x=0 \ }\), (2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}=0 \ }\) \right. \(\small{ \ t\lt2 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)は存在しない \(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\) 好物：ビール・BBQ, 基本的な問題から二次不等式への変形など様々な指数関数の不等式の問題について詳しく解説しています。. \(\small{ \ \therefore x=4 \ }\), (2)\(\small{ \ 2^x=3 \ }\) で定まる実数です：Pythonでその数値を求めてみますと n = 10 ** 8 (1 + 1 /n)**n から、その近似値が（8桁程度の精度で） \begin{array}{l} \(\small{ \ t\gt0 \ }\)より\(\small{ \ t=1 \ }\) こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。 指数方程式が解けない？これまで指数イコール指数にして方程式や不等式を解いてきましたがそれでは解くのが不可能な問題があります。要するに私たちが扱う指数の方程式の中に \right. \(\small{ \ 2^x=2^{2(x-2)} \ }\) 指数方程式の解き方 や などのように、指数を含む方程式のことを「指数方程式」といいます。 であれば、具体的に に値を代入していくことで答えが であることがわかると思いますが、 のように少し複雑になると、答えがすぐに求まりそうもないこともあります。 指数方程式. 生物応用化学演習1b: ... 2.2次方程式の解の公式や解と係数の関係を使って、基礎的な問題を解くことができる。 3.2次不等式に関する基礎的な問題を2次関数のグラフと関連付けて解くことができる。 ... 指数関数 … (3)\(\small{ \ 2^x=-3 \ }\), (1)\(\small{ \ 2^x=4^{x-2} \ }\) 指数関数　y=a^xのグラフは底の大きさでふた通りに分けられます。 a>1のとき増加関数 0< a < 1　のとき減少関数 となります。 不安な人は ⇒　対数方程式の解き方と対数関数のグラフの書き方 で確認しておいてください。 指数関数のグラフの書き方もまとめてあります。 不等式にどのように利用出来るかというと、 ⅰ）底が１より大きいとき 「指数が大きくなれば指数で表された数全体が大きくなる。」 これは 「指数で表された数全 … f(2)=a+8\gt0 \(\small{ \ X=2^x, \ Y=2^y \ }\)とおく（\(\small{ \ X\gt0, \ Y\gt0 \ }\)） \(\small{ \ t=3^x+3^{-x} \ }\)とおく（\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)） \end{array} \(\small{ \ (X, \ Y)=(2, \ 4), \ (4, \ 2) \ }\) }+\cdots\], \[\log _2 (1+x) =\frac{1}{(\log_e 2)}x-\frac{1}{(\log_e 2)^2}\dfrac{x^2}{2}+\frac{1}{(\log_e 2)^3}\dfrac{x^3}{3}-\cdots\], 微分の計算は、積分の計算でも使うものです。これらの式を見れば、\(2,10\)などを底にするよりも、\(e\)の方が議論が単純になるのがわかるでしょう。, \(e\)という数は唐突なものではなく、指数関数の微分をシンプルにする数として自然に発見されます。, \(a\)を適当な正の数として、\(f_a (x) = a^x\)と定義します。その微分を定義によって計算してみましょう。, \(\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\)を考えるわけですが、指数関数の性質を用いてくくりだせば\(a^x \frac{a^h-1}{h}\)です。, つまり、もし\( \frac{a^h-1}{h}\to 1 \quad (h\to 0)\)ならば、微分の計算は単純に\((f_a)’ = f_a\)なります。, これを満たすような\(a\)が見つかれば良いわけです。\(a^h-1 =h\)を整理すれば、\(a^h=1+h\),\(a=(1+h)^{\frac{1}{h}}\)。つまり、これは\(e\)の定義\(e:=\lim _{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)にほかなりません。これは\(e= \lim_ {n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}\)と言い換えても同じです。（この極限は、上に有界な単調増加列であるため存在が保証されます。）, 別の言い方をすれば、\(\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}= 1 \)を満たす\(a\)（が存在するので、それ）をオイラー数\(e\)と呼びます。同値な言い換えが出てきても戸惑わないように。, （微分方程式\(f^{\prime}(x)=f(x)\)を満たす関数として指数関数を定義することもできます。）, 対数関数でも同様の議論により、\(e\)が発見できます。\(g_a= \log_a x\)としましょう。, \(\begin{align*} \frac{d}{dx}g_a(x)&= \lim_{h \to 0} \frac{\log_a (x+h)-\log_a x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log_a \frac{x+h}{x} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{h} \log _a\left( 1+\frac{h}{x} \right) \\ \end{align*}\), ここで\( \frac{x}{h} \log _a\left( 1+\frac{h}{x} \right)  =1\quad (h\to 0)\)となる\(a\)があれば、対数関数の微分は単純です。, \(\log _a a=1\)なので、\(( 1+\frac{h}{x} )^{ \frac{x}{h}}=a\)。\(t:=\frac{h}{x}\)とおけば、\(h\to 0\)のとき\(t\to 0\)であり、\((1+t)^{\frac{1}{t}}=a\)。これはさきほども見た、\(e\)の定義\(e:=\lim _{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}\)でした。, 以上、なぜe（オイラー数）を学ぶかについて、指数関数・対数関数の微分の計算を単純にするから、ということを紹介してきました。, 数学を学んでいて、極限の話でいきなり\(e\)が登場してきて疑問に思うのはもっともです。\(2.718\dots\)に収束すると言われても、なんでそんな極限を考えるのかわかりません。指数関数や対数関数の微分に取り組んでみて、それを単純な形で表そうとすれば、\(e\)は自然と見つかります。三角関数でラジアン（弧度法）を導入するのも、同様の理由です。, 指数関数や対数関数の話をする前に、先に\(e\)を極限として定義することは天下り式の議論ですが、論理的には順当なのでよく採用されます。ただ、どうして\(e\)が都合が良いとされているのかは、指数関数や対数関数の微分の計算を知っておくと、飲み込みやすいでしょう。, 趣味で数学をしています。修士（理学）。1992年・群馬生まれ、茨城在住。 \(\small{ \ 2^x+2^{-x}=t \ }\)として 指数関数を含む方程式の解き方について学習するページです。基本的な問題から二次方程式への変形など様々な指数関数の方程式の問題について学習することができます。【高校数学.net】 指数関数や対数関数の話をする前に、先に\(e\)を極限として定義することは天下り式の議論ですが、論理的には順当なのでよく採用されます。 ただ、どうして\(e\)が都合が良いとされているのかは、指数関数や対数関数の微分の計算を知っておくと、飲み込みやすいでしょう。 -\displaystyle\frac{a}{2}\gt2\\ \left\{ (1)\(\small{ \ 2^x=4^{x-2} \ }\) \end{eqnarray} \ }\) \(\small{ \ (t+3)(t-1)=0 \ }\) \begin{array}{l} 2^x+2^y=6 \\ こんにちは、リンス(@Lins016)です。 ここでネイピア数 は（さまざまな定義がありますが）次の極限. \end{eqnarray} \ }\) }+(\log_e 2)^3{x^3\over 3! 指数関数と微分演算子. \(\small{ \ t^2+t-2=0 \ }\)を解く, 最初に言ったけど指数関数を含む方程式はまず\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)を求めて、そこから\(\small{ \ 2^x=2^3 \ }\)に変形して\(\small{ \ x=3 \ }\)って求めるのが基本なんだ。, だから\(\small{ \ a^x=p \ }\)の形にすることがまずは大切なんだ。この\(\small{ \ a^x=p \ }\)の形を常に解けるようにしよう。, 次の方程式を解け。 よって\(\small{ \ 4^x+4^{-x}+a\left(2^x+2^{-x}\right)+6-a=0 \ }\)が\(\small{ \ 4 \ }\)つの解を持つためには\(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\)が\(\small{ \ t\gt2 \ }\)に\(\small{ \ 2 \ }\)つの解をもてばよい 概要 [詳しくはオリエンテーションの動画をご覧ください。数学の勉強法についても話しています。] 本当に”ゼロから”丁寧かつ迅速に全ての大学入試に通用する数学力を上げてくれる超徹底基礎講座がついに … \(\small{ \ -8\lt a\lt-2-2\sqrt{5} \ }\), 名前：リンス XY =8 ・「三角関数を含む方程式・不等式」 2時間 ・「三角関数を活用する課題学習」 2時間（本時はその第1時） 6 この単元で育成したい主な思考力・判断力・表現力 『「日の入りの時刻の推移」を関数ととらえ、グラフの形状から三角 る. よって求める\(\small{ \ a \ }\)の値の範囲は 数学 指数方程式です。 この問題について、 の左辺を〜異なる二点で交わることである。の部分なのですが、なぜこのようになるのでしょうか？ よろしくお願いします！ \end{array} Copyright© 高校数学.net , 2020 All Rights Reserved. \(\small{ \ 2^x\gt0 \ }\)より解なし, つまり対数を知らないと\(\small{ \ 2^x=2^p \ }\)の形しか解けないけど、対数を教わることで\(\small{ \ 2^x=p \ (p\gt0) \ }\)の形も解くことが出来るんだ。, 次は指数を置換して二次方程式にする問題について考えていこう。 2^{x+y} =8 a\lt-2-2\sqrt{5}, \ a\gt-2+2\sqrt{5}\\ \(\small{ \ (X-2)(X-4)=0 \ }\) \(\small{ \ (2^x, \ 2^y)=(2, \ 4), \ (4, \ 2) \ }\) \(\small{ \ 3^x+3^{-x}=2 \ }\) \right. X+Y=6 \\ \(\small{ \ X^2-6X+8=0 \ }\) \(\small{ \ (t-2)(t+1)=0 \ }\) \(\small{ \ 2^x=t \ }\)として 19:指数関数 ・指数関数のグラフ【高校数学Ⅱ】 ・指数関数のグラフの移動【高校数学Ⅱ】 ・指数の大小比較【高校数学Ⅱ】 ・指数関数と方程式【高校数学Ⅱ】 ・指数関数と不等式【高校数学Ⅱ】 ・指数関数の最大と最小【高校数学Ⅱ】 20:対数とその性質 \end{eqnarray} \ }\), (1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3=0 \ }\) 佐藤 求 群馬パース大助教 博士（理学） 著; 理工系専門学校の教科書，理工系大学初年度の副読本程度の内容を目安に，物理や電気を学習する上で利用される数学の理解を目的とした。 (2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}=0 \ }\) \end{array} まずは以前書いた指数の置換について確認しておこう。, 上の記事にもあるように基本的に置換するのは\(\small{ \ t=a^x \ }\)か\(\small{ \ t=a^x+a^{-x} \ }\)。, \(\small{ \ t=2^x \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次方程式になる場合、元の式には\(\small{ \ 4^x \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2 \ }\)が入っているはずだからね。, \(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次方程式になる場合は、元の式には\(\small{ \ 4^x+4^{-x} \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x}+2^{-2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2+\left(2^{-x}\right)^2 \ }\)が入っているはず。, 最初に言ったようにいきなり\(\small{ \ x=3 \ }\)を求めるんじゃなくて\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)を求めたいわけだから、どの文字を置けばいいか考えて問題を解こう。, 次の方程式を解け。 (2)\(\small{ \ 2^x=3 \ }\) \(\small{ \ t^2+2t-3=0 \ }\)を解く, ③\(\small{ \ 4^{x}+4^{-x}+2^x+2^{-x}=0 \ }\) \(\small{ \ t=2 \ }\)のとき\(\small{ \ x=0 \ }\) ここで \end{eqnarray} \ }\) \(\small{ \ x=2(x-2) \ }\) \(\small{ \begin{eqnarray} ラジオ第2放送 毎週 水曜日・木曜日 午後7：50〜8：10 ※この番組は、昨年度の再放送です。 こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。 指数の方程式をどう解くか指数の計算ができるようになったら次は方程式と不等式を解けるようになることが大事です。指数計算を練習してきた意味はここにあります。まずは指数 指数方程式は、その名の通り指数で構成された式で未知数を解くことを目的とします。 （例）3 2x +2・3x+1=0の時のxを求める。 D=a^2-4(4-a)\gt0\\ \(\small{ \ a=3^x \ }\)とおく(\(\small{ \ a\gt0 \ }\)) 線型代数学（せんけいだいすうがく、英: linear algebra ）とは、線型空間と線型変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。 現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。 © 2020 趣味の大学数学 All rights reserved. 工学を理解するための応用数学 - 微分方程式と物理現象 -. a\lt-4\\ 指数関数に微分演算子を代入すると、適当な条件の下で \[f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right) f(x) \] となることを確認し、差分方程式の解法への応用を考える。（厳密な議論はしな … \(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\)の判別式を\(\small{ \ D \ }\)、\(\small{ \ f(t)=t^2+at+4-a \ }\)とすると \(\small{ \begin{eqnarray} (1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3=0 \ }\) 指数関数を含んだ方程式の計算 前回のテキストでは、 を満たすxの値を考えながら、指数関数を含んだ方程式の解き方の基本を説明しました。今回は、試験でよく出題される応用の形をみていきましょう。 ＜問題1＞ この式を満たすxの値を求めなさい。 指数不等式 \(\small{ \ \therefore x=\log_23 \ }\), (3)\(\small{ \ 2^x=-3 \ }\) 数学Ⅱ 指数関数 指数の計算特訓② （文字ver） 問題編. 高校数学では、指数関数や対数関数を学ぶときに、\(e\)（オイラー数、ネイピア数）と呼ばれる数を学びます。, なぜそんな数が登場するのでしょうか。今回は、指数関数、対数関数の微分を単純化するときに、\(e\)が自然に登場することを紹介します。, と表されます。なぜその底として、\(e\)を用いるのでしょうか？　\(2\)や\(10\)ではダメなのでしょうか。, \(f_{10}(x):= 10^{x}, g_{10}(x) :=\log_{10} x\), \(e\)が頻繁に用いられるのは、その微分が簡単に表されるからです。比較してみましょう。, \[\frac{d}{dx}f_e(x) = e^{x}, \frac{d}{dx}g_e (x)= \frac{1}{x}\], \[\frac{d}{dx}f_2(x)=\log _e 2 \cdot 2^{x}, g_2(x) =\frac{1}{(\log_e 2) x}\], \[\frac{d}{dx}f_{10}(x)= \log _e 10 \cdot 10^{x}, \frac{d}{dx}g_{10}(x) =\frac{1}{(\log_e 10) x}\], \(e\)を使わない指数関数・対数関数では、余計な係数が登場しています。関数を多項式の和として表すテイラー展開では、これが顕著に。, \[ e^{x}= 1+x+{x^2\over 2! \left\{ }+{x^3\over 3! \(\small{ \ \therefore(x, \ y)=(1, \ 2), \ (2, \ 1) \ }\), 指数を含む連立方程式も何を置けばいいのか考えて問題を解こう。あと置換したら範囲を必ず考えるようにね。, \(\small{ \ 4^x+4^{-x}+a\left(2^x+2^{-x}\right)+6-a=0 \ }\) \(\small{ \ t^2-t-2=0 \ }\) \(\small{ \ a^2+1=2a \ }\) このページは「高校数学Ⅱ：指数関数と対数関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになって

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